Mundarija Kirish………………………………………………………………..……… 3 I bob. To’liq sistemalar…………………………………….……………… 4 To’liq sistemalarning xususiyatlari……………………………………… 4Har bir Kirish qismi uchun natijani aniqlanishi…………………….…… 5Misollar bilan to’liq sistemalar tushunchasini mustahkamlashtirish….… 6Funksiya f(x)=x^2 ni o’zlashtirish uchun to’liq sistemadan foydalanish………………………………………………………….…… 8II bob. To’liqmas sistemalar……………………………………………… 9 2.1 To’liqmas sistemalarning xususiyatlari………………………….…….. 10 2.2 Misollar bilan to’liqmas sistemalar tushunchasini mustahkamlash…………………………………………………….………. 11 2.3 Funksiya f(x) =x^2 ni to’liqmas sistemada ishlatish misollarini ko’rsatish……………………………………………………………..……. 12 Xulosa……………………………………………………………..………. 14 Foydalanilgan adabiyotlar………………………………………..……… 15 Kirish Diskret matematika - matematikaning bir qismi boiib, meloddan aw al IV asrda yaratila boshlangan. Diskret matematika matematikaning takomillashgan sonlar nazariyasi, algebra, matematik mantiq qismlaridar. tashqari XX asr o‘rtalaridagi fan-texnika taraqqiyoti tufayli jadal rivojlanayotgan funksional sistemalar nazariyasi, graf va to'rlar nazariyasi, kodlashtirish nazariyasi, kombinator analiz kabi bo‘limlami ham o‘z ichiga oladi. Dastlab faqat matematik mantiq, algebra, matematik analiz, matematika asoslari, ehtimollar nazariyasi, geometriya, topologiya, sonlar nazariyasi, modellar nazariyasi kabi matematik fanlarda tatbiq etib kelingan diskret matematika XX asming 40- yillaridan boshlab hisoblash matematikasi, kibemetika, axborot texnologiyalari, iqtisodiyot, psixologiya, matematik lingvistika, tibbiyot fanlari va diskret texnikada ham keng qo‘llanilmoqda. Diskret matematika elektr sxemalami loyihalashda va tekshirishda, avtomatik hisoblash mushinalarini loyihalash va dasturlashtirishda, diskret avtomatlarni mantiqiy loyihalashda, EHM elementlari va qismlarini loyihalashda, har xil texnik sistemalar, qurilmalar va avtomatik mashinalami tahlil va sintez qilishda keng miqyosda tatbiq etiladi. Matematik mantiq fani elektron hisoblash mashinalarining vujudga kelishiga va uni mukammalashtirishga katta hissa qo‘shdi. Diskret matematika informatikaning poydevori bo‘lishi bilan birga, hozirgi zamon matematik ta’limning muhim bo‘g‘ini ham hisoblanadi. Kitobning asosi sifatida H.T. To‘rayev tomonidan 1973- yildan beri Samarqand davlat universiteti amaliy matematika va informatika fakulteti talabalariga uzluksiz o‘qilayotgan ma’ruzalar olingan. Uning strukturasi va mazmuniga fakultet bazasida “Diskret matematika va uning tatbiqlari” mavzusida o‘tkazilgan Xalqaro ilmiy anjumanlar, Moskva davlat universitetining «Diskret matematika» kafedrasi bilan o‘quv-uslubiy sohalardagi hamkorlik hamda fakultet talabalariga diskret matematika fanining yetuk olimlari A.Dorodnitsin, Yu.Juravlyov, M.Komilov, V.Kudryavsev, A.Zikov va V.Qobulov tomonidan o'qilgan m a’ruzalarning ham ijobiy ta’siri bor. I bob. To’liq sistemalar. Funksiyalar, matematikada va dastur tizimlarida muhim ahamiyatga ega bo'lgan konseptlardir. Ular bilan bog'liq to'liq va to'liqmas sistemalar esa funksiyalar bilan ishlashning bir necha usullarini ifodalaydi. To'liq sistema, har bir kirish qiymati uchun funksiya natijasini aniqlash imkonini beradi. Bu sistema tushunchasi matematikada va dastur tizimlarida keng qo'llaniladi. Quyidagi xususiyatlarga ega:Har bir kirish qiymati uchun funksiya natijasi aniqlanadi.Har bir qiymat uchun yegindiligi mavjud.Matematikada funksiyaning grafikini ko'rsatish imkonini beradi.Misol uchun, f(x) = x^2 funksiyasi to'liq bir sistemadir. Har bir x qiymati uchun funksiya qiymatini hisoblash mumkin. Misol uchun, f(2) = 4, f(-3) = 9 kabi. To'liq sistemalarning xususiyatlari: 1. Har bir kirish qiymati uchun natija aniqlanishi: To'liq sistemada funksiya natijasi har bir kirish qiymati uchun aniqlanadi. Bu, funksiya bilan bog'liq bo'lgan barcha qiymatlarni hisoblash va natijalarni olish imkoniyatini beradi. 2. Yegindiligining mavjudligi: To'liq sistemalarda funksiyaning har bir qiymatiga mos natija aniqlanadi. Bu yegindiligi ifodalaydi va funksiyani uning kirish qiymatlari bo'yicha to'liq sifatida ta'riflaydi. 3. Grafikini ko'rsatish imkoniyati: To'liq sistemalarda funksiyaning grafikini ko'rsatish mumkin. Grafik funksiyani vizual ravishda ifodalaydi va kirish qiymatlari bilan natijalar orasidagi aloqani ko'rsatadi. Misollar bilan to'liq sistemalar tushunchasini mustamlakalahtirish: 1. Funksiya f(x) = x^2 ni o'zlashtirish uchun to'liq sistemadan foydalanish: - Har bir x qiymati uchun funksiya qiymatini topishimiz mumkin. Misol uchun, x = 2 bo'lsa, f(2) = 2^2 = 4 ga teng. - Barcha x qiymatlari uchun funksiya natijalarini hisoblash va natijalarni keltirishimiz mumkin. 1.1 To’liq sistemalarning xususiyatlari. To'liq sistemalar, funksiyalar bilan ishlashning bir necha xususiyatlariga ega. Quyidagi xususiyatlar to'liq sistemalarning asosiy elementlari hisoblanadi: Har bir kirish qiymati uchun natija aniqlanishi: To'liq sistemada, funksiya uchun har bir kirish qiymati uchun faqatgina natija aniqlanadi. Bu natija funksiyani bajarish uchun qo'yilgan shartlar va formulalar asosida topiladi.Yegindiligining mavjudligi: To'liq sistemalar funksiya uchun yegindiligini ta'minlayadi. Bu degani, har bir kirish qiymati uchun faqatgina bir natija aniqlanadi. Natijalar orqali funksiyaning o'ziga xos yegindiligini ko'rish mumkin.Grafikini ko'rsatish imkoniyati: To'liq sistemalar funksiyaning grafikini tashkil etish va ko'rsatish imkoniyatini beradi. Grafik funksiyaning x va y o'qlarida ifodalangan holatidir. Bu, funksiyaning har bir kirish qiymatiga mos natijalarining aloqasini vizual ravishda ko'rsatadi.Misollar bilan to’liq sistemalar tushunchasini mustahkamlashtirish.To'liq sistemalarning bu xususiyatlari funksiyalarni o'rganish, hisob-kitob qilish, matematik modellash va dastur tizimlarida ishlashda juda muhimdir. Ular to'liqlik va aniqlilikni ta'minlayarak funksiyalar bilan bog'liq vazifalarni muvaffaqiyatli bajarishga imkon beradi. 1.2 Har bir Kirish qismi uchun natijani aniqlanishi. Har bir kirish qiymati uchun natija aniqlash funksiyalar bilan ishlashning asosiy xususiyatidir. Bu, to'liq sistemalar uchun amal qiladi. Har bir kirish qiymati uchun funksiya natijasini aniqlash uchun quyidagi jarayonni izohlashingiz mumkin: 1. Kirish qiymatini funksiya hisoblash formulasi orqali ifodalang. Misol uchun, f(x) = 2x + 3 funksiyasini o'rganaylik. 2. Belgilangan kirish qiymatini funksiya formulasi bilan almashtirib funksiya natijasini toping. Misol uchun, x = 4 bo'lsa, f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11 natija bo'ladi. 3. Natijani topganingizni ko'rsating. Natija misolda 11 ga teng bo'ladi. 4. Ushbu jarayonni boshqa kirish qiymatlari uchun takrorlanganlashtiring. Misol uchun, x = -2, x = 0, x = 6 bo'lsa, f(-2), f(0), f(6) natijalarni ham topishingiz mumkin. Bular orqali har bir kirish qiymati uchun funksiya natijasini aniqlashingiz mumkin. Natijalar funksiyani hisoblash formulasi va berilgan kirish qiymati orqali topiladi. Bu natijalar funksiyani to'liq va aniqlilik bilan tushuntirishga imkon beradi. Tabriklayman! Misollar bilan to'liq sistemalar tushunchasini mustahkamlashtirishga o'tamiz. 1. Misol: Funksiya f(x) = 2x - 1 ni o'rganamiz. a) Natija aniqlash: Har bir kirish qiymati uchun funksiya natijasini topish uchun f(x) formulani qo'llaymiz. - x = 3 bo'lsa, f(3) = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5 natija bo'ladi. - x = -2 bo'lsa, f(-2) = 2(-2) - 1 = -4 - 1 = -5 natija bo'ladi. b) Natijalar: Natijalar bilan funksiyani tushunishimiz mumkin. Bu misolda f(3) = 5 va f(-2) = -5 natijalarini olishimiz mumkin. c) Grafikini ko'rsatish: Funksiyaning grafikini tashkil etish va ko'rsatish imkoniyati mavjud. Bu ushbu misol uchun grafikni chizib olishimiz mumkin. Grafikida x o'qi va f(x) y o'qi orqali funksiyaning aloqasini ko'rishimiz mumkin. 2. Misol: Funksiya g(x) = x^2 ni o'rganamiz. a) Natija aniqlash: Har bir kirish qiymati uchun funksiya natijasini topish uchun g(x) formulani qo'llaymiz. - x = 2 bo'lsa, g(2) = 2^2 = 4 natija bo'ladi. - x = -3 bo'lsa, g(-3) = (-3)^2 = 9 natija bo'ladi. b) Natijalar: Natijalar bilan funksiyani tushunishimiz mumkin. Bu misolda g(2) = 4 va g(-3) = 9 natijalarini olishimiz mumkin. c) Grafikini ko'rsatish: Funksiyaning grafikini tashkil etish va ko'rsatish imkoniyati mavjud. Bu ushbu misol uchun grafikni chizib olishimiz mumkin. Grafikida x o'qi va g(x) y o'qi orqali funksiyaning aloqasini ko'rishimiz mumkin. Ushbu misollar to'liq sistemalar tushunchasini mustahkamlashga yordam beradi. Har bir kirish qiymati uchun funksiya natijasini topish, natijalar bilan funksiyani tushunish va grafikini tashkil etish imkoniyatiga ega bo'lamiz. Bu misollar orqali to'liq sistemalar tushunchasini amalga oshirishga yordam beradi. Funksiya f(x)=x^2 ni o’zlashtirish uchun to’liq sistemadan foydalanish. Funksiya f(x) = x^2 ni o'zlashtirish uchun to'liq sistemadan foydalanish quyidagi bosqichlardan iborat bo'ladi: Natijani aniqlash: Har bir kirish qiymati uchun funksiya natijasini topish uchun f(x) formulani qo'llaymiz.Misol uchun, x = 3 bo'lsa, f(3) = (3)^2 = 9 natija bo'ladi. Natijalar: Natijalar bilan funksiyani tushunishimiz mumkin. Bu misolda f(3) = 9 natijasini olishimiz mumkin.Grafikini ko'rsatish: Funksiyaning grafikini tashkil etish va ko'rsatish imkoniyati mavjud.Grafikni chizish uchun bir nechta kirish qiymatlari (x qiymatlari) va ularning mos natijalarini olishimiz mumkin. Misol uchun, x qiymatlari -2, -1, 0, 1, 2 bo'lsa, mos natijalarini topishimiz mumkin: f(-2) = (-2)^2 = 4, f(-1) = (-1)^2 = 1, f(0) = (0)^2 = 0, f(1) = (1)^2 = 1, f(2) = (2)^2 = 4. Grafikda x o'qi va f(x) y o'qi orqali funksiyaning aloqasini ko'rishimiz mumkin. Uning shakli parabola bo'ladi va uchlar o'rtasidagi kengayishli chiziqni ifodalaydi. To'liq sistemadan foydalanib funksiya f(x) = x^2 ni o'zlashtirish orqali, har bir kirish qiymati uchun funksiya natijasini aniqlash, natijalar bilan funksiyani tushunish va grafikini ko'rsatish mumkin. II bob. To’liqmas sistemalar. To'liqmas sistemalar, belgilangan cheklovlar yoki shartlar bo'yicha funksiyaning natijalarini olish uchun qo'llaniladigan sistemalardir. Bu sistemalarda funksiyaning har bir kirish qiymati uchun natija olinmayib, faqat belgilangan cheklovlar yoki shartlar bo'yicha natija beriladi. To'liqmas sistemalar quyidagi xususiyatlarga ega bo'ladi: Cheklovlar yoki shartlar: To'liqmas sistemalarda belgilangan cheklovlar yoki shartlar bo'yicha funksiyaning qabul qilishi kerak. Misol uchun, f(x) = 2x funksiyasini o'rganaylik.Natijalarni olish: Belgilangan cheklovlar yoki shartlarga asosan, funksiyaning natijalarini olishimiz mumkin. Misol uchun, f(x) = 2x funksiyasi uchun x qiymatlari 3, 5, 7 bo'lishi kerakligini aytaylik.x = 3 bo'lsa, f(3) = 2(3) = 6 natija bo'ladi.x = 5 bo'lsa, f(5) = 2(5) = 10 natija bo'ladi.x = 7 bo'lsa, f(7) = 2(7) = 14 natija bo'ladi.Natijalar belgilangan cheklovlar yoki shartlar asosida aniqlanadi. To'liqmas sistemalar funksiyalarni cheklash, belgilangan shartlarga javob topish va ko'rsatilgan cheklovlar bo'yicha natijalarni olishda qo'llaniladi. Har bir kirish qiymati uchun natija olinmasa ham, belgilangan shartlar bo'yicha funksiyaning bajarilishi va natijalar olinadi. 2.1 To’liqmas sistemalarning xususiyatlari. To'liqmas sistemalar, funksiyalar uchun belgilangan cheklovlar yoki shartlar bo'yicha natijalar olish uchun qo'llaniladigan sistemalardir. Ularning quyidagi xususiyatlari mavjud: 1. Belgilangan cheklovlar yoki shartlar: To'liqmas sistemalarda funksiyalar uchun belgilangan cheklovlar yoki shartlar belgilanadi. Bu cheklovlar yoki shartlar, funksiyaning qabul qilishi uchun kerakli talablarni ifodalayadi. Misol uchun, funksiyaning belgilangan diapazon bo'ylab olinishi, biror tengliklarga mos natijalar berishi kabi cheklovlar belgilanishi mumkin. 2. Natijalarni olish: To'liqmas sistemalarda belgilangan cheklovlar yoki shartlarga javob topish uchun funksiyaning natijalarini olishimiz mumkin. Bu natijalar belgilangan cheklovlar asosida, shartlarga javob sifatida belgilanadi. Natijalar funksiyani o'zlashtirish jarayonida belgilangan cheklovlar bo'yicha aniqlanadi. 3. Cheklanish va niyotlar: To'liqmas sistemalar funksiyalarning cheklanishini va niyotlarini ta'minlayadi. Cheklanish, funksiyani belgilangan cheklovlar bo'yicha cheklash, shartlarga javob berish va belgilangan tartibda natijalarni olishni ifodalaydi. Niyotlar esa funksiyani belgilangan shartlar asosida aniqlanadigan natijalar berish uchun yordam beradi. 4. O'zlashtirish imkoniyati: To'liqmas sistemalarda funksiya natijalarini o'zlashtirish imkoniyati mavjud. Belgilangan cheklovlar va shartlarga javob sifatida funksiyaning natijalarini olish va o'zlashtirish imkoniyati beriladi. Bu, funksiya natijalarini belgilangan cheklovlar bo'yicha belgilash va ulardan kelib chiqadigan xususiyatlarni aniqlash uchun yordam beradi. To'liqmas sistemalar funksiyalarni cheklash, belgilangan shartlarga javob topish va natijalarni olishda qo'llaniladi. Ular cheklanish, niyotlar va o'zlashtirish imkoniyatini ta'minlayarak funksiyalarni belgilangan shartlar asosida qo'llab-quvvatlayadi. Bu, funksiyalar bilan bog'liq masalalarni yechishda o'rnatilgan cheklar va shartlar asosida ishlaydigan sistemaning asosiy xususiyatlari hisoblanadi. 2.2 Misollar bilan to’liqmas sistemalar tushunchasini mustahkamlash. Tabriklayman! Misollar bilan to'liqmas sistemalar tushunchasini mustahkamlashga o'tamiz. 1. Misol: Funksiya f(x) = |x| ni o'rganamiz. a) Cheklash sharti: Funksiya f(x) = |x| uchun cheklash sharti x qiymatlarining negativligi yoki musbatligiga bog'liq bo'ladi. b) Natijani olish: Cheklash shartiga asosan, funksiyaning natijalarini olishimiz mumkin. - x = -2 bo'lsa, f(-2) = |-2| = 2 natija bo'ladi. - x = 3 bo'lsa, f(3) = |3| = 3 natija bo'ladi. c) Natijalar: Bu misolda f(-2) = 2 va f(3) = 3 natijalarini olishimiz mumkin. d) Grafikini ko'rsatish: Funksiyaning grafikini tashkil etish va ko'rsatish imkoniyati mavjud. Bu misol uchun grafikni chizib olishimiz mumkin. Grafikida x o'qi va f(x) y o'qi orqali funksiyaning cheklash shartlariga javob berishini ko'rishimiz mumkin. 2. Misol: Funksiya g(x) = 2x + 1 ni o'rganamiz. a) Cheklash sharti: Funksiya g(x) = 2x + 1 uchun cheklash sharti yo'q. b) Natijani olish: Cheklash sharti bo'lmagan uchun funksiyaning natijalarini olishimiz oson. - x = 0 bo'lsa, g(0) = 2(0) + 1 = 1 natija bo'ladi. - x = -3 bo'lsa, g(-3) = 2(-3) + 1 = -5 natija bo'ladi. c) Natijalar: Bu misolda g(0) = 1 va g(-3) = -5 natijalarini olishimiz mumkin. d) Grafikini ko'rsatish: Funksiyaning grafikini tashkil etish va ko'rsatish imkoniyati mavjud. Bu misol uchun grafikni chizib olishimiz mumkin. Grafikida x o'qi va g(x) y o'qi orqali funksiyaning tartibda oshishini ko'rishimiz mumkin. Ushbu misollar to'liqmas sistemalar tushunchasini mustahkamlashga yordam beradi. Har bir funksiya uchun cheklash shartlarini aniqlash, belgilangan cheklash shartlariga javob berish uchun funksiya natijalarini olish, natijalar bilan funksiyani tushunish va grafikini tashkil etish imkoniyatiga ega bo'lamiz. Bu misollar orqali to'liqmas sistemalar tushunchasini amalga oshirishga yordam beradi. 2.3 Funksiya f(x) =x^2 ni to’liqmas sistemada ishlatish misollarini ko’rsatish. Funksiya f(x) = x^2 ni to'liqmas sistemada ishlatish uchun bir nechta misollar ko'rsatish mumkin: 1. Misol: Funksiyani musbat x qiymatlari uchun to'liqmas sistemada ishlatish. a) Cheklash sharti: x qiymatlari musbat bo'lishi kerak. b) Natijani olish: Cheklash shartiga asosan, funksiyaning natijalarini olishimiz mumkin. - x = 2 bo'lsa, f(x) = (2)^2 = 4 natija bo'ladi. - x = 5 bo'lsa, f(x) = (5)^2 = 25 natija bo'ladi. c) Natijalar: Bu misolda f(2) = 4 va f(5) = 25 natijalarini olishimiz mumkin. 2. Misol: Funksiyani manfiy x qiymatlari uchun to'liqmas sistemada ishlatish. a) Cheklash sharti: x qiymatlari manfiy bo'lishi kerak. b) Natijani olish: Cheklash shartiga asosan, funksiyaning natijalarini olishimiz mumkin. - x = -3 bo'lsa, f(x) = (-3)^2 = 9 natija bo'ladi. - x = -4 bo'lsa, f(x) = (-4)^2 = 16 natija bo'ladi. c) Natijalar: Bu misolda f(-3) = 9 va f(-4) = 16 natijalarini olishimiz mumkin. Ushbu misollar orqali funksiya f(x) = x^2 ni to'liqmas sistemada ishlatishni ko'rsatish mumkin. Musbat x qiymatlari uchun funksiyaning natijalari va manfiy x qiymatlari uchun funksiyaning natijalari belgilangan cheklovlar asosida olinadi. To'liqmas sistemada funksiyaning x qiymatlariga javob beruvchi natijalarni olish va tushunish mumkin bo'ladi. Xulosa To'liqmas sistemalar funksiyalarning belgilangan cheklovlar yoki shartlar bo'yicha natijalarini olish uchun qo'llaniladigan sistemalardir. Misollar orqali to'liqmas sistemalar tushunchasini mustahkamlashimiz mumkin. Funksiya f(x) = x^2 ni to'liqmas sistemada ishlatish uchun misollar ko'rsatildi. Misol 1-da funksiyaning musbat x qiymatlari uchun natijalar olingan, misol 2-da esa funksiyaning manfiy x qiymatlari uchun natijalar olingan. Bu misollar orqali funksiya to'liqmas sistemada belgilangan cheklovlar yoki shartlarga javob berish va natijalarini olish imkoniyatini ko'rsatadi. To'liqmas sistemalarda funksiyalar bilan bog'liq masalalarni yechishda cheklash shartlari belgilanadi va belgilangan shartlarga javob berish uchun funksiyaning natijalarini olishimiz mumkin. Bu natijalar cheklash shartlariga bog'liq bo'ladi. Misollar orqali funksiyalarni cheklash, belgilangan shartlarga javob topish va natijalarini olishda to'liqmas sistemalar tushunchasi amalga oshiriladi. To'liqmas sistemalar funksiyalarning tartibda cheklanishini ta'minlayadi va belgilangan cheklash shartlariga javob beruvchi natijalar beradi. Bu sistemalar funksiyalarning davomiyligini va ulardan kelib chiqadigan xususiyatlarni aniqlashda qo'llaniladi. Shuning uchun, to'liqmas sistemalar tushunchasi funksiyalarni tahlil qilish, cheklash shartlarini aniqlash va natijalarini olish uchun muhimdir. Foydalanilgan adabiyotlar To’rayev H.T. Azizov I., ,,Matematik mantiq va diskret matematika” 1-jildTo’rayev H.T., ,,Matematik mantiq va dikret matematika” 2-jild., Tafakkur-Bo’stoni, Darslik., 2011A. Tohirov, G. Arslonova, A. Ahmadjonov ,,Juft va toq funksiyalar xususida”., Ilmiy maqola., 2011E. Urunbayev, N. Abdullayeva., ,,Diskret matematika”., Samarqand 2013Abdulov M. ,,Diskret matematika va matematik mantiq fanidan misollar va masalalar to’plami”., Qarshi.,, O’quv qo’llanma 2019"Funksiyalarning tahlili" - W. Rudin"Kalkulus" - J. Stewart"Diferensial tenglamalar va ularning ilmiy iloji" - V. Arnold"Funksiyalarning analitik tahlili" - L. Ahlfors"Matematik analiz" - T. ApostolFoydalanilgan elektron veb sahifalar. Ommaviy qidiruv tizimi: www.google.com Ma’lumotlar joylashtirilgan veb sahifa: www.fayllar.org Elektron kitoblar jamlanmasi joylangan veb sahifa: www.ziyouz.com Turli xil ma’lumotlarga ega veb sahifa: www.wikipedia.orgOʻzbekiston Milliy kutubxonasi: https://natlib.uz O‘zbekiston ilmiy elektron kutubxonasi: http://elibrary.uz